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周期与植树问题 | 袋鼠知识

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周期与植树问题 ​

概述 ​

周期问题和植树问题看上去完全不像一类题，但它们都在处理同一件事：
一个是“重复到第几位”，一个是“间隔对应几个点”。

这两类题最怕机械套公式。
只要先想清楚下面两个问题，题目就会立刻变简单：

  1. 题目是在问“第几个位置”还是“相差了多少步”？
  2. 题目是在数“点”还是在数“段”？
周期问题前 T 格确定 后面不断重复植树问题点比段多 1：两端都种环形时点数 = 间隔数

一、周期问题 ​

1. 周期问题的本质 ​

如果某种现象每隔 T 个单位重复一次，那么前 T 个位置确定以后，后面的所有位置都只是不断重复前面的顺序。

所以，周期题本质上就是：

把一个很大的序号，压缩回一个周期里去看它落在哪一格。

这就是为什么周期题一定和“除法取余”有关。

2. 核心公式 ​

设周期长度为 T，要求第 n 个位置对应什么，那么：

周期内位置=((n−1)modT)+1

符号含义：

  • n：题目中的数量、项数、次数或样本量，具体含义见公式前文字。
  • T：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

这个公式特别重要，原因是题目中的“第 1 个”应该对应周期中的“第 1 位”，而不是“余数 1”乱套上去。

如果题目已经给了一个起点，比如“已知某月 1 日是星期二，问 30 日是星期几”，那真正变化的是：

位移量=30−1

也就是说，不是拿目标数直接除周期，而是拿“目标和起点之间差了多少步”去除周期。

3. 周期题的常见模型 ​

模型 1：星期与日期 ​

  • 星期的周期是 7
  • 从某一天推到另一天，要看相差天数
  • 相差多少天，就往后推多少位

模型 2：轮班与排班 ​

例如甲乙丙丁 4 人轮流值班，第 37 天是谁值班，本质上就是周期为 4 的取余问题。

模型 3：图形、颜色、字母循环 ​

比如红黄蓝红黄蓝……，要求第 100 个颜色是什么，也是完全一样的思路。

4. 经典真题 ​

真题1：某月 1 日是星期二，那么该月 30 日是星期几？
解析

解析： 星期的周期是 7。

从 1 日到 30 日，不是走了 30 天，而是走了：

30−1=29天

再用 29 去除以 7：

29÷7=4⋯1

说明相当于从星期二往后推 1 天，所以是：

星期二→星期三

正确答案为 C。

这题最容易错在两个地方：

  1. 直接拿 30 去除以 7
  2. 忘了“同一个起点本身不算位移”

5. 余数为 0 怎么办 ​

周期题还有一个常见坑：
如果余数是 0，并不表示“没有位置”，而表示它刚好落在这个周期的最后一位。

例如 5 人轮流值班，问第 20 天是谁值班：

20÷5=4⋯0

余数是 0，说明第 20 天不是“第 0 位”，而是周期中的第 5 位。

真题2：甲、乙、丙、丁四人按顺序轮流值班。若第 1 天是甲值班，则第 40 天是谁值班？
解析

解析： 周期长度为 4。

用核心公式：

((40−1)mod4)+1=(39mod4)+1=3+1=4

也可以直接看：

40÷4=10⋯0

余数为 0，说明落在周期最后一位，也就是第 4 位。

第 4 位对应丁，所以正确答案为 D。

二、植树问题 ​

1. 植树问题的本质 ​

2. 第一步永远先算间隔数 ​

3. 四类基础公式 ​

模型 1：两端都种 ​

模型 2：只种一端 ​

模型 3：两端都不种 ​

模型 4：封闭路线或环形一圈 ​

4. 双边植树 ​

5. 经典真题 ​

6. 环形植树 ​

三、植树问题的常见变形 ​

1. 锯木头 ​

2. 爬楼梯 ​

3. 打孔、安路灯、设电线杆 ​

四、考场易错点 ​

五、这一类题怎么快速识别 ​