容斥问题 (文氏图与公式法)

概述

容斥问题的本质只有一句话：

为了避免重复计算，要把重复部分减回去。

所以容斥题从来不是背几个孤立公式，而是先理解“为什么要减、什么时候要加回来”。

公考里高频就三类：

1. 两集合容斥
2. 三集合容斥
3. 至少、至多、只属于、都不属于 这类变形问法

---

一、两集合容斥

设两类人分别属于集合 A 和 B。

1. 基础公式

$$A\cup B=A+B-A\cap B$$

也就是说：

$$\text{至少属于一类}=\text{A类人数}+\text{B类人数}-\text{两类都属于的人数}$$

如果题目给了总人数 T，那么：

$$\text{两类都不属于}=T-(A\cup B)$$

符号含义：

• $T$：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

2. 为什么要减交集

因为在 $A+B$ 里，交集 $A\cap B$ 被算了两次，所以必须减去一次。

3. 常见变形

求“都不属于”

先算并集，再用总人数去减。

求“只属于 A”

$$\text{只A}=A-(A\cap B)$$

求“两者都属于”

由基础公式变形：

$$A\cap B=A+B-(A\cup B)$$

如果题目给的是总人数和都不属于的人数，则：

$$A\cup B=T-\text{都不属于}$$

符号含义：

• $T$：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。

---

二、三集合容斥

1. 标准公式

2. 如果题目给了总人数

3. “只属于某一类”怎么求

三、容斥题的两个常见延伸

1. 最少交集

2. 最多并集

四、文氏图法为什么重要

五、经典真题

真题1：某班总人数为 32 人。第一次考核中有 26 人及格，第二次考核中有 24 人及格，两次考核都没有及格的有 4 人。问两次考核都及格的有多少人？

A18B22C26D28

选择并提交答案后查看解析

真题2：某班共有 40 人，参加语文兴趣小组的有 18 人，参加数学兴趣小组的有 16 人，两组都参加的有 8 人。问两组都没有参加的有多少人？

A12B14C16D18

选择并提交答案后查看解析

真题3：100 人中会英语 60 人，会数学 45 人。若所有人中都会至少一门，问两者都会的至少多少人？

A5B8C10D12

选择并提交答案后查看解析

真题4：某调查中喜欢电影 40 人，喜欢音乐 35 人，两者都喜欢 15 人。只喜欢电影的有多少人？

A20B25C30D35

选择并提交答案后查看解析

真题5：三个集合 A、B、C 的人数分别为 20、18、16，任意两集合交集人数之和为 20，三集合交集为 4。问至少属于一个集合的人数是多少？

A38B40C42D44

选择并提交答案后查看解析

六、考场易错点

七、这一章的复习重点