天平、过河与博弈

概述

这三类题都不适合蛮算。
它们的共同特点是：看懂规则，比埋头计算更重要。

1. 天平题看的是“称一次能分出几类”。
2. 过河题看的是“谁负责往返最省时间”。
3. 博弈题看的是“哪些状态一上手就不该碰”。

只要规则抓对，这三类题并不神秘；
规则抓错，往往算半天都算不出来。

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公式速查

模型	公式 / 结论	使用方式	对应真题
天平称重	3^k >= N	已知异常物一定偏重，求最少称重次数	真题1
过河递推	f(n)=f(n-2)+min(2a_1+a_{n-1}+a_n,\ a_1+2a_2+a_n)	每次优先比较“送走最慢两人”的成本	真题2
取石子博弈	若每次可取 1~m 枚且取完者胜，则 (m+1) 的倍数是必败态	每次把关键数留给对手	真题3
取石子变形	若每次可取 1~m 枚且取完者输，则 1 mod (m+1) 是必败态	先审清胜负规则再找关键数	真题补充4

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一、天平问题

1. 天平题为什么本质是分类题

2. 基础结论

情况 1：已知异常物一定偏重

情况 2：不知道异常物偏重还是偏轻

3. 天平题的标准思路

4. 经典真题

二、过河问题

1. 过河题的本质

2. 经典过桥模型

3. 送走最慢两个人时的两种标准方案

方案 A：让最快的人单独来回送

方案 B：让最前面两位配合送

4. 递推写法

5. 经典真题

三、博弈问题

1. 博弈题为什么先找“必败态”

2. 最常见模型：取石子

3. 如果规则改成“取到最后一枚者输”

4. 经典真题

四、这三类题怎么快速上手

天平题

过河题

博弈题

五、考场易错点