主题
周期与植树问题
概述
周期问题和植树问题看上去完全不像一类题，但它们都在处理同一件事：
一个是“重复到第几位”，一个是“间隔对应几个点”。
这两类题最怕机械套公式。
只要先想清楚下面两个问题，题目就会立刻变简单：
- 题目是在问“第几个位置”还是“相差了多少步”？
- 题目是在数“点”还是在数“段”？
一、周期问题
1. 周期问题的本质
如果某种现象每隔 T 个单位重复一次，那么前 T 个位置确定以后，后面的所有位置都只是不断重复前面的顺序。
所以，周期题本质上就是：
把一个很大的序号，压缩回一个周期里去看它落在哪一格。
这就是为什么周期题一定和“除法取余”有关。
2. 核心公式
设周期长度为 T，要求第 n 个位置对应什么，那么：
符号含义：
：题目中的数量、项数、次数或样本量，具体含义见公式前文字。 ：总量、周期或时间参数，具体含义见公式前文字。
这个公式特别重要，原因是题目中的“第 1 个”应该对应周期中的“第 1 位”，而不是“余数 1”乱套上去。
如果题目已经给了一个起点，比如“已知某月 1 日是星期二，问 30 日是星期几”，那真正变化的是：
也就是说，不是拿目标数直接除周期，而是拿“目标和起点之间差了多少步”去除周期。
3. 周期题的常见模型
模型 1：星期与日期
- 星期的周期是
7 - 从某一天推到另一天，要看相差天数
- 相差多少天，就往后推多少位
模型 2：轮班与排班
例如甲乙丙丁 4 人轮流值班，第 37 天是谁值班，本质上就是周期为 4 的取余问题。
模型 3：图形、颜色、字母循环
比如红黄蓝红黄蓝……，要求第 100 个颜色是什么，也是完全一样的思路。
4. 经典真题
真题1：某月 1 日是星期二，那么该月 30 日是星期几？
选择并提交答案后查看解析
5. 余数为 0 怎么办
周期题还有一个常见坑：
如果余数是 0，并不表示“没有位置”，而表示它刚好落在这个周期的最后一位。
例如 5 人轮流值班，问第 20 天是谁值班：
余数是 0，说明第 20 天不是“第 0 位”，而是周期中的第 5 位。
真题2：甲、乙、丙、丁四人按顺序轮流值班。若第 1 天是甲值班，则第 40 天是谁值班？
选择并提交答案后查看解析
二、植树问题
1. 植树问题的本质
2. 第一步永远先算间隔数
3. 四类基础公式
模型 1：两端都种
模型 2：只种一端
模型 3：两端都不种
模型 4：封闭路线或环形一圈
4. 双边植树
5. 经典真题
真题3：一条长 100 米的道路，从头到尾每隔 5 米种一棵树，两端都种，共需多少棵树？
选择并提交答案后查看解析
6. 环形植树
真题4：在一个周长 100 米的圆形花坛周围，每隔 5 米种一棵树，共需多少棵树？
选择并提交答案后查看解析