主题
最值问题 (抽屉原理与和定最值)
概述
最值问题的关键词通常很明显：
- 最多
- 最少
- 至少要多少才能保证
- 最高可能是多少
- 最低至少是多少
这类题高频考三条线：
- 抽屉原理
- 和定最值
- 平均分配思想
也就是说，最值题往往不是硬算，而是在找“最不利情况”或“最平均情况”。
公式速查
| 模型 | 公式 / 结论 | 使用方式 | 对应真题 |
|---|---|---|---|
| 抽屉原理 | 至少有一个不少于 ceil(n/m) | n 个对象放进 m 类，求“至少” | 真题1、真题2、真题5 |
| 保证同类 | 最不利分配 + 1 | 先把“不想重复”拖到极限 | 真题1 |
| 最大值最大 | 最大值最大 = 总和 - 其余项最小和 | 想让一个人尽量大，就压低别人 | 真题3 |
| 最大值最小 | 最大值最小 = ceil(S/n) | 想让最大者尽量小，就尽量平均 | 真题4 |
| 平均分配思想 | 极值往往出现在“尽量平均”附近 | 能均分看平均，不能均分看上取整 | 真题2、真题4、真题5 |
一、抽屉原理
1. 基本思想
2. 最不利原则
3. 常见模型
二、和定最值
1. 总和固定时，求最大值的最大
2. 总和固定时，求最大值的最小
3. 常见限制条件
三、平均思想
1. 至少有一个不低于平均数
2. 至少有一个不高于平均数
3. 想让最大值最小，就尽量平均分
四、积与和的最值
1. 和固定，积最大
2. 积固定，和最小
五、经典真题
真题1：一年中至少有多少人，才能保证其中两人的生日在同一个季度？
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真题2：把 13 个苹果放入 4 个盒子，至少有一个盒子里不少于多少个苹果？
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真题3：6 名学生参加百分制考试，成绩总和为 400 分。已知 6 人都及格，且分数均为整数，排名无并列。问第一名最多得多少分？
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真题4：4 个正整数和为 100。要使其中最大数尽可能小，则这个最大数最小是多少？
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真题5：将 31 本书分给 5 名同学，至少有一名同学分到不少于多少本？
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