概率问题 (古典概型与条件概率)

概述

概率题在公考里不算题量最多，但很容易因为“情况数没数全”或“顺序没分清”而丢分。
这类题要学透，不能只记一个

$$P=\frac{\text{有利情况数}}{\text{总情况数}}$$

符号含义：

• $P$：概率、效率或题中设定的量，具体见公式前文字。

还要把下面这些问题想清楚：

1. 题目是不是等可能？
2. 是不是要分顺序？
3. 是有放回还是无放回？
4. 是直接求，还是用对立事件更快？

---

一、概率问题的基础概念

1. 古典概型

如果所有基本结果发生的可能性相同，就属于古典概型。

此时：

$$P=\frac{\text{满足条件的情况数}}{\text{总情况数}}$$

符号含义：

• $P$：概率、效率或题中设定的量，具体见公式前文字。

公考中最常见的古典概型有：

• 摸球
• 掷骰子
• 抛硬币
• 随机选人
• 随机排位

2. 互斥事件

两个事件不能同时发生，例如掷一个骰子，不可能同时既是 2 点又是 5 点。
互斥事件概率可直接相加。

3. 对立事件

事件 $A$ 的对立事件记作 $\bar{A}$，满足：

$$P(A)=1-P(\bar{A})$$

符号含义：

• $P$：概率、效率或题中设定的量，具体见公式前文字。

只要题目出现：

• 至少一个
• 至少一次
• 至多一个

优先考虑对立事件。

4. 独立事件

如果一个事件发生与否不影响另一个事件，那么它们独立。
例如不同人是否通过考试彼此独立，连续掷骰子彼此独立。

此时：

$$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$$

符号含义：

• $P$：概率、效率或题中设定的量，具体见公式前文字。

---

二、常用公式与方法

1. 直接求概率

2. 对立事件法

3. 分步乘法

4. 分类加法

5. 有放回与无放回

有放回

无放回

6. 条件概率的基本理解

三、概率题的高频模型

1. 摸球问题

2. 骰子与硬币

3. 至少一个

4. 恰好发生一次

5. 排列组合型概率

四、经典真题

真题1：一个盒子中装有 3 个红球和 2 个白球，现从中随机同时抽取 2 个球，求恰好抽到 2 个红球的概率。

A1/6B1/5C2/5D3/10

选择并提交答案后查看解析

真题2：小明通过某考试的概率为 $5/6$，小华通过该考试的概率为 $4/5$。求两人中至少有 1 人通过考试的概率。

A4/5B5/6C29/30D31/32

选择并提交答案后查看解析

真题3：同时抛两枚硬币，恰有一枚正面的概率是多少？

A1/4B1/3C1/2D2/3

选择并提交答案后查看解析

真题4：掷两枚骰子，至少有一枚点数为 6 的概率是多少？

A11/36B1/6C5/6D25/36

选择并提交答案后查看解析

真题5：一个袋中有 2 个红球、3 个白球，不放回地连续摸两次。已知第一次摸到红球，问第二次也摸到红球的概率是多少？

A1/5B1/4C1/3D1/2

选择并提交答案后查看解析

五、考场易错点

六、做概率题的稳定顺序