数列与牛吃草问题

概述

这一章其实是两个看起来不相关、但都很“规律化”的模型：

1. 等差、等比数列
2. 牛吃草（消长问题）

它们的共同点是：
题目表面变化很多，但公式非常固定，识别后就不该再硬算。

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一、等差数列

1. 定义

如果一个数列中，后项减前项的差恒定为同一个数 d，就叫等差数列。

2. 核心公式

通项公式

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

符号含义：

• $a_n$：数列的第 $n$ 项的值。
• $a_1$：数列的第 1 项，也叫首项。
• $n$：项数；在 $a_n$ 中表示第 $n$ 项的序号。
• $d$：等差数列的公差，即相邻两项中后一项减前一项所得的固定差。

前 n 项和

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

符号含义：

• $S_n$：数列前 $n$ 项的和。
• $a_1$：数列的第 1 项，也叫首项。
• $a_n$：数列的第 $n$ 项的值。
• $n$：项数；在 $a_n$ 中表示第 $n$ 项的序号。

也可写成：

$$S_n=\frac{n[2a_1+(n-1)d]}{2}$$

符号含义：

• $S_n$：数列前 $n$ 项的和。
• $a_1$：数列的第 1 项，也叫首项。
• $n$：项数；在 $a_n$ 中表示第 $n$ 项的序号。
• $d$：等差数列的公差，即相邻两项中后一项减前一项所得的固定差。

3. 中项性质

若项数是奇数，中间那一项乘项数就是总和：

$$S_n=a_{\text{中项}}\times n$$

符号含义：

• $a_{\text{中项}}$：奇数项等差数列中位于正中间的那一项。
• $S_n$：数列前 $n$ 项的和。
• $n$：项数；在 $a_n$ 中表示第 $n$ 项的序号。

这是行测里非常实用的速算结论。

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二、等比数列

1. 定义

2. 核心公式

通项公式

前 n 项和

3. 公考中怎么考

三、数列应用题的高频模型

1. 排队、排座位、楼梯、台阶

例题1：电影院共有 12 排座位。第 1 排有 10 个座位，之后每一排都比前一排多 2 个座位。问第 12 排有多少个座位？

A28B30C32D34

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2. 利息、倍增、细胞分裂

例题2：某种细菌每 1 小时数量变为原来的 2 倍。开始时有 4 个细菌，经过 4 小时后共有多少个细菌？

A48B54C64D81

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3. 中间项与总和

例题3：某等差数列共有 9 项，其中中间一项是 15。问这 9 项的和是多少？

A135B145C155D165

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四、牛吃草问题

1. 本质

2. 标准模型

3. 为什么是 N-x

4. 题目常见外衣

五、经典真题

真题1：一个阶梯教室共有 15 排座位。已知最后一排有 38 个座位，且往前每一排都比后一排少 2 个座位。问这个教室第 8 排有多少个座位？

A22B23C24D25

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真题2：等差数列 2，5，8，…，第 9 项为 26，前 9 项和是多少？

A90B108C120D126

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真题3：牧场有一片青草，每天青草都在匀速生长。这片牧场可供 27 头牛吃 6 天，或者可供 23 头牛吃 9 天。请问，如果放 21 头牛，可供吃多少天？

A10B12C14D15

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真题4：某片草地可供 20 头牛吃 10 天，或供 15 头牛吃 20 天。若放 30 头牛，可供吃多少天？

A4B5C6D7

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真题5：某水池有固定进水量。12 台抽水机 6 小时可抽干，8 台抽水机 12 小时可抽干。若用 16 台抽水机，需要几小时抽干？

A3B4C5D6

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六、考场易错点

七、这一章的复习重点