十字交叉法

概述

  十字交叉法是解决**“加权平均（混合比值）”**问题的“外挂级”解法。   当题目出现：两杯不用浓度的盐水混合、男生平均分和女生平均分混合算全班平均分、打折商品和不打折商品混合算总利润率时。只要看到**“A部分量 + B部分量 = 混合体总体量”**，不要去列方程，直接画大叉子！

  核心原理图（十字交叉模型）：

  解题步骤：

1. 左边竖着写：写两个独立部分的特征值（浓度、平均分等）。大的写上面（A），小的写下面（B）。
2. 中间画圆圈写：写它们混合后的总体特征值（r）。
3. 连线对角做差：大数减小数（永远保证结果是正数）。交叉减！
   • 右上角结果 = $r-B$
   • 右下角结果 = $A-r$
4. 得出基数比：算出来的这两个差值之比 $(r-B):(A-r)$，极其重要，它代表着对应基底的比！（比如如果是浓度问题，它就代表溶液质量的比；如果是分数组合，它就代表人数的比）。

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一、溶液混合 (最经典应用)

经典真题

真题1：（联考）现有含有 15% 盐水的溶液 100 克，需要加入多少克浓度为 40% 的盐水，才能混合得到浓度为 25% 的盐水？

A100B150C200D250

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二、平均分与比例混合

经典真题

真题2：（国考）某次考试，全班平均分是 82 分。其中男生的平均分是 80 分，女生的平均分是 85 分。请问该班男生和女生的人数之比是多少？

A2 : 3B3 : 2C3 : 4D4 : 3

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解题技巧总结：

1. 什么东西交叉得什么比：
   • 用浓度交叉，得到的是溶液的质量比。
   • 用平均分/均价交叉，得到的是总人数/总件数的比。
   • 用利润率交叉，得到的是成本的比（这也是考场上极容易错的点，利润率交叉绝不是商品件位比，除非每件成本一样）。
2. 永远是大减小：十字线的两头对减，一定要用大的数字减小的数字，写在另一头，保证差是正数。