余数性质

概述

  余数问题在公务员考试中常常以“一箱苹果，每次拿3个剩2个，每次拿5个剩4个”这种形态出现。它的背后其实是鼎鼎大名的中国剩余定理（孙子定理）。   解决这类问题，如果硬算或者穷举会非常慢。我们必须背诵并熟练运用**“同余定理”三大口诀以及“逐步满足法”**。

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一、同余定理三大口诀

当一个未知数 $X$ 除以多个不同的数（如 $A,B$）时，如果产生的余数满足一定规律，就可以直接写出 $X$ 的通式。

1. 余同加余

  特征：除数不同，但余数相同。   口诀：最小公倍数作通式的系数，然后加上这个相同的余数。   举例：一个数除以 $3$ 余 $2$，除以 $5$ 余 $2$。   通式：$X=15n+2$ （其中 $15$ 是 $3$ 和 $5$ 的最小公倍数）。只要是满足这个通式的数（如 $17,32$），统统符合条件。

2. 差同减差

  特征：除数不同，余数也不同，但“除数与余数的差”相同。   口诀：最小公倍数作通式的系数，然后减去这个相同的差。   举例：一个数除以 $5$ 余 $3$（差为 **$5-3=2$），除以 $7$ 余 $5$（差也是 $7-5=2$）。差同！   通式：$X=35n-2$（$35$ 是最小公倍数）。例如 $X=33,68$ 等。

3. 和同加和

  特征：除数不同，余数不同，但“除数与余数的和”相同。   口诀：最小公倍数作通式的系数，然后加上这个相同的和。   举例：一个数除以 $4$ 余 $3$（和为 **$4+3=7$），除以 $5$ 余 $2$（和为 $5+2=7$）。和同！   通式：$X=20n+7$（$20$ 是最小公倍数）。例如 $X=27,47$ 等。

经典真题

真题1：（国考）一堆零件，如果每次拿 5 个，最后剩下 3 个；如果每次拿 7 个，最后剩下 5 个；如果每次拿 9 个，最后剩下 7 个。这堆零件至少有多少个？

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二、不满足定理时的“逐步满足法”

  如果一道题，余不同、差不同、和也不同，三大定理全盘崩溃怎么办？   别怕，直接用**“逐步满足法”**硬刚：从最大的除数条件开始，一个个往小条件里套。

经典真题

真题2：一个数被 3 除余 2，被 5 除余 0，被 7 除余 1，问这个数最小是多少？

A41B44C47D50

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解题技巧总结：

1. 口诀比天大：对于中国剩余定理题，一定要在心里默念“余同加余、差同减差、和同加和”。
2. 选项反推：如果嫌列通式麻烦，最暴力的解法其实是——直接拿ABCD四个选项去除以题干的数字，看余数对不对！公考是单选题，四个选项里永远只有一个是真的。对于纯数字计算题，能代入决不手算！