公考数学常识（数量关系）

一、公考数学必背“数字属性常识”

在数量关系中，利用数字本身的特性（如奇偶、整除、尾数）可以实现“秒杀”，而不需要一步步死算。以下是历年考试中最常用到的数字属性进阶解析：

1. 奇偶特性（解不定方程神器）

【基础知识点】

加减法规律：同偶、同奇得偶（如 ** $奇 \pm 奇 = 偶$ ），一奇一偶得奇（如 $奇 \pm 偶 = 奇$ ）。
乘法规律：有偶则偶，全奇才奇。即任何数乘以偶数必为偶数。

【考场推论】

两数和与差同奇偶：如果 $x + y$ 是偶数，那么 $x - y$ 也必然是偶数。
解不定方程的切入点：遇到形如 ** $a x + b y = c$ 时，若 $a$ 或 $b$ 为偶数（例如 $4 y$ ），则该项恒为偶数；若此时常数项 $c$ 也是偶数，则推导另一项必定是偶数，从而迅速锁定未知数的奇偶性。

【真题演练】

真题：超市买苹果和梨共花去 104 元。苹果 8 元/斤，梨 5 元/斤，且购买重量均为整数。已知苹果购买量是偶数斤，问苹果买了多少斤？

6789

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2. 常见整除判定法则（快速排除法）

【基础知识点】

看尾数：被 2 或 5 整除看末1位；被 4 或 25 整除看末2位；被 8 或 125 整除看末3位。
看加和：被 3 或 9 整除看各位数字之和。

【考场推论】

平均分/按比例分配倒推：如果题干说“把总数平均分成 9 份”，那么选项里的总数加起来必定能被 9 整除（各位数字和是9的倍数）。
余数推断：如果说某数“除以 4 余 1”，那么该数末两位组成的数字除以 4 必定余 1。

【真题演练】

真题：某班级学生要去春游，若按每组 4 人分，正好分完；若按每组 9 人分，也正好分完。已知该年级总人数在 140 到 150 之间，该年级共有多少人？

143144145146

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3. 乘方尾数规律（解决超大幂次计算）

【基础知识点】 数字的次方尾数呈现 4 次一循环的固定规律：

$2^{n}$ 的尾数：2, 4, 8, 6
$3^{n}$ 的尾数：3, 9, 7, 1
$4^{n}$ 的尾数：4, 6, 4, 6

【考场推论】 面对 $A^{n}$ 求尾数，拿指数 $n$ 除以 4，看余数。余数是 1，对应第 1 个尾数；余数是 2，对应第 2 个尾数；余数是 3，对应第 3 个；整除（余数为 0），对应第 4 个尾数。

【真题演练】

真题：请问 $3^{2023}$ 的个位数（尾数）是多少？

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4. 勾股数常识（几何速算）

【基础知识点】 满足直角三角形 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 的常见正整数边长（勾股数）：

(3, 4, 5) 及其倍数 (6, 8, 10)、(9, 12, 15)、(30, 40, 50)
(5, 12, 13) 及其倍数 (10, 24, 26)
(8, 15, 17)、(7, 24, 25)

【考场推论】 在行程问题（如甲往东走，乙往北走求直线距离）或几何问题中，一旦算出两条直角边是 3 和 4 的倍数，直接套用“斜边是 5 的倍数”，彻底跳过繁琐的平方和开根号运算。

【真题演练】

真题：张三从起点向正东走了 25 米，然后向正北走了 60 米，此时他距离起点多少米？

65605550

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5. 约数、余数与同余常识（数论入门）

【基础知识点】

约数：能整除某个整数的数，叫这个整数的约数。
倍数：若 ** $a = b \times k$ ，则 $a$ 是 $b$ 的倍数。
余数： $a \div b = q \dots r$ ，其中 $0 \leq r < b$ 。
同余：如果两个数除以同一个除数得到的余数相同，就可以记成 $a \equiv b (\mod m)$ 。

【考场推论】

只要题目出现“每隔若干、每组若干、除以若干还剩”，就要立刻想到余数关系。
余数问题本质是在找满足若干个条件的同一个整数，因此经常要和最小公倍数、逐步试探法联动。
数量关系里的余数题，不要求掌握抽象数论证明，重点是会把中文条件翻译成“除以几余几”。

【速记结论】

若 $a \equiv b (\mod m)$ ，则 $a - b$ 一定能被 $m$ 整除。
若若干数除以 $m$ 余数相同，则它们两两之差都能被 $m$ 整除。
“余同加余、差同减差、和同加和”本质上都是同余关系的快捷判断。

6. 质数、合数与因式分解（数字性质高频点）

【基础知识点】

质数：大于 1 且只有 1 和它本身两个正约数的数，如 2、3、5、7、11。
合数：大于 1 且除 1 和本身外还有别的约数的数，如 4、6、8、9、10。
1 既不是质数也不是合数。
2 是唯一的偶质数。

【考场推论】

遇到“质数之和”“质数之积”“两个互质整数”的题，第一反应要先看奇偶。
除了 2 以外，所有质数都是奇数，所以两个奇质数之和一定是偶数。
因式分解不是为了炫技巧，而是为了更快判断整除、约数个数、最大公约数和最小公倍数。

【常用分解】

$12 = 2^{2} \times 3$
$18 = 2 \times 3^{2}$
$30 = 2 \times 3 \times 5$
$72 = 2^{3} \times 3^{2}$

7. 最大公约数与最小公倍数（分组、周期、整除共用）

【基础知识点】

最大公约数：几个整数公有约数中最大的一个。
最小公倍数：几个整数公有倍数中最小的一个。
互质：最大公约数是 1。

【考场推论】

遇到“同时满足多个周期”“每隔几分钟同时出现一次”“分成若干组都正好分完”，优先想最小公倍数。
遇到“若干物品尽量多地平均分组而不剩”“把大尺寸切成同样小段”，优先想最大公约数。
余数问题中的“逐步满足法”本质上也在不断往某个最小公倍数的方向靠。

【核心结论】

两个数的积 = 最大公约数 $\times$ 最小公倍数
若 $a, b$ 互质，则 $lcm (a, b) = a b$
周期题的“第一次再次同时出现”本质上就是在求最小公倍数

二、实用生活类数学公式速查

很多公考题披着生活的外衣，实则考查固定的数学公式。

1. 植树及分段问题

【基础知识点】

直线两端植树：树被栽在一段直线的两个端点以及中间。
环形封闭植树：在圆环、操场周围一圈植树。
两端不植树（锯木头/爬楼梯）：只在中间切分，两头已经是边界不需要操作。

【考场推论】 千万不能死背繁杂的公式，核心精髓是找出**“棵数（实体操作数）”与“间隔数”**的差值关系：

两头都被占上（两端植树）：棵数比间隔多 1。 $\Rightarrow$ 棵数 = 间隔数 + 1
首尾相连（环形封闭）：没有头也没有尾。 $\Rightarrow$ 棵数 = 间隔数
两头都不占（锯木头）：棵数比间隔少 1。 $\Rightarrow$ 棵数 = 间隔数 - 1

【视觉记忆】

(1) 直线两端植树（间隔4，棵数5）

(2) 环节植树（间隔4，棵数4）

【真题演练】

真题：一条公路长 100 米，现在要在公路的一侧从头到尾每隔 5 米栽一棵杨树，请问一共需要栽多少棵树？

19棵20棵21棵22棵

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2. 比赛场次分配公式

【基础知识点】

淘汰赛：两人/两队对决，必败一人出局，直到最后剩一名总冠军。
单循环赛：每个队伍都必须与其他所有队伍进行恰好一次交手（如世界杯小组赛）。
双循环赛：每个队伍都必须与其他所有队伍进行**主客场各一次（共两次）**交手（如英超联赛积分赛）。

【考场推论】 遇到比赛场次题，切忌自己在草稿纸上连线数场次，直接套用以下秒杀公式：

淘汰赛决出冠军：总比赛场数 = 参赛队伍数 - 1（因为每场淘汰1队，要淘汰 N-1 队才能剩冠军）。
单循环赛公式：总场数 = N × (N - 1) ÷ 2（原理是从 $N$ 队中抽 2 队进行组合 $C_{n}^{2}$ ）。
双循环赛公式：总场数 = N × (N - 1)（单循环的两倍）。

【真题演练】

真题：某单位举办乒乓球单打锦标赛，共有 64 名职工报名参加。比赛采用单一场次的淘汰赛制（即输一场就被淘汰），请问决出最终的男单冠军一共需要安排多少场比赛？

6364127128

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3. 数量关系核心公式速查

这部分对应的是做题时最常回头翻的“工具箱”，不按题目外形记，而按核心数量关系记：

和差倍比：
- 和倍：小量 = 和 $\div (倍数 + 1)$
- 差倍：小量 = 差 $\div (倍数 - 1)$
工程问题：
- 工作总量 = 效率 $\times$ 时间
- 合作效率 = 各自效率之和
行程问题：
- 路程 = 速度 $\times$ 时间
- 相遇：总路程 = 速度和 $\times$ 时间
- 追及：路程差 = 速度差 $\times$ 时间
利润问题：
- 售价 = 成本 $\times (1 + 利润率)$
- 利润 = 售价 - 成本
- 折后售价 = 标价 $\times$ 折扣
浓度问题：
- 溶质 = 溶液 $\times$ 浓度
- 蒸发加水题盯住溶质不变
容斥问题：
- 两集合：总数 = A + B - 都满足 + 都不满足
- 三集合标准式： $A + B + C - A \cap B - A \cap C - B \cap C + A \cap B \cap C$
排列组合：
- 排列： $A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}$
- 组合： $C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! (n - m)!}$
概率问题：
- 概率 = 满足条件情况数 $\div$ 总情况数
- 对立事件： $P (至少一个) = 1 - P (一个都没有)$

这些公式本身不难，难的是识别什么时候该用哪一条，所以背公式必须和题型识别一起练。

三、参考高频补充模型

1. 周期问题

2. 鸡兔同笼

3. 空瓶换酒

4. 天平问题

5. 剪绳与切割问题

6. 过河问题

7. 博弈问题

8. 统筹规划与递推/动态规划意识

9. 计数杂题

四、联网汇总后的数量关系全景分类

五、几何公式图表速查（图形 + 图例 + 公式）

1. 平面图形（周长、面积）

2. 立体图形（表面积、体积）

六、高频知识点 + MCQ 真题

1) 和差倍比：和差关系

真题（2010 黑龙江 042）：三个单位共有 180 人，甲、乙两个单位人数之和比丙单位多 20 人，甲单位比乙单位少 2 人。求甲单位人数。

48人49人50人51人

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2) 比例与增长率

真题（2011 国家）：某公司去年有员工 830 人，今年男员工人数比去年减少 6%，女员工人数比去年增加 5%，员工总数比去年增加 3 人。问今年男员工有多少人？

329350371504

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3) 比例抽样（标记回捕）

真题（2004 年中央 B 类）：养鱼塘第一次捕上来 200 尾并标记后放回，数日后再捕上来 100 尾，其中有标记的 5 尾。问鱼塘约有多少尾鱼？

200400050006000

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4) 利润与分段提成

真题（2003 年中央 A 类）：某企业发奖金按利润提成。利润不超过 10 万部分按 10%，10~20 万部分按 7.5%，超过 20 万部分按 5%。当利润为 40 万时，应发放奖金多少万元？

22.7534.5

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5) 折扣与逆推

真题（2000 年中央）：某人用 4410 元买了一台电脑，其价格是原价连续两次打折后的价格，折扣依次为 10% 和 2%。求原价。

4950元4990元5000元5010元

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6) 浓度混合

真题演练（公考高频浓度模型）：甲容器有浓度 3% 的盐水 190 克，乙容器有浓度 9% 的盐水，从乙中取 210 克倒入甲。问甲容器最终浓度是多少？

5.45%6.15%7.35%5.95%

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7) 工程问题（总量法）

真题演练（工程基础模型）：一批零件若由赵师傅单独加工需 10 天，孙师傅单独加工需 15 天，两人合作需多少天？

5678

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8) 行程问题（环形追及）

真题（2008 云南 017）：环形跑道周长 400 米，甲乙同时同地出发，甲每分钟 375 米，乙每分钟 365 米。问多少时间后再次相遇？

34分钟36分钟38分钟40分钟

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9) 数列（二级等差）

真题（国家公务员数字推理习题）：5，8，( )，23，35

19181514

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10) 数列（幂次双变化）

真题（2006 国考第 32 题）：1，32，81，64，25，( )，1

561012

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11) 几何（长方体表面积）

真题（立体几何高频）：一个长方体盒子长 20 厘米、宽 8 厘米、高 2 厘米。要用一张纸完整包裹六个面，且剪下部分不能再贴补。这张纸大小可能是哪一个？

长25厘米、宽17厘米长26厘米、宽14厘米长24厘米、宽21厘米长24厘米、宽14厘米

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12) 几何（浸水 + 缩放）

真题（2007 年中央第 47 题）：边长 1 米木质正方体放入水中，有 0.6 米浸入水中。若将其分割成边长 0.25 米的小正方体并全部放入水中，问直接与水接触的表面积总量为多少？

3.4平方米9.6平方米13.6平方米16平方米

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13) 排列组合（分类计数）

真题（国家 2010-46）：某单位订阅了 30 份学习材料发给 3 个部门，每个部门至少发 9 份。问有多少种不同发放方法？

791012

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14) 容斥原理（三集合）

真题（容斥高频）：某公司运动会中，参加百米跑 86 人、跳高 65 人、拔河 104 人；至少参加两项的有 73 人，三项都参加的有 32 人。问参赛总人数是多少？

89121150185

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